$[-1, 1]$  पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए रोले का प्रमेय लागू नहीं है, क्योंकि

वास्तविक मान वाले फलन $f(x) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 24 - 10\sqrt {x - 1} ;} $ $1 < x < 26$ के लिए $f\,'(x)$ का अन्तराल $\left( {1,\,26} \right)$ में मान होगा

फलन $f(x) = {x^2} - 4$ के लिये रोले प्रमेय किस अन्तराल में सत्य है

फलन$f(x) = x(x + 3){e^{ - (1/2)x}}$ रोले प्रमेय की सभी शर्तों को  $[-3, 0] $ में सन्तुष्ट करता है। $c$  का मान है

माना $\mathrm{f}:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1$, $x \in[2,4], f(2)=\frac{1}{2}$ तथा $f(4)=\frac{1}{4}$ हैं।

निम्न दो कथनों का विचार कीजिए :

($A$) सभी $\mathrm{x} \in[2,4]$ के लिए $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 1$, है।

($B$) सभी $x \in[2,4]$ के लिए $f(x) \geq \frac{1}{8}$ है। तो

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ अभिकलनीय फलन $(differentiable\,functon)$ इस प्रकार है कि किन्हीं $a < b$ के लिए $f(a)=0=f(b)$ और $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। अंतराल $(interval$;' $( a , b )$ में $f( x )$ के मूलों $(roots)$ की न्यूनतम संख्या क्या है ?