જો $p, q, r$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને સમીકરણો $p x^{2}+2 q x+r=0$ અને $d x^{2}+2 e x+f=0$ નું એક બીજ સમાન હોય, તો સાબિત કરો કે $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$. એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
જો $p, q, r$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને સમીકરણો $p x^{2}+2 q x+r=0$ અને $d x^{2}+2 e x+f=0$ નું એક બીજ સમાન હોય, તો સાબિત કરો કે $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$. એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
The equation $p x^{2}+2 q x+r=0$ has roots given by
$x=\frac{-2 q \pm \sqrt{4 q^{2}-4 r p}}{2 p}$
since $p, q, r$ are in $G.P.$ $q^{2}=p r .$ Thus $x=\frac{-q}{p}$ but $\frac{-q}{p}$ is also root of ${d{x^2} + 2ex + f = 0}$ (Why ?). Therefore
$d\left(\frac{-q}{p}\right)^{2}+2 e\left(\frac{-q}{p}\right)+f=0$
or $d q^{2}-2 e q p+f p^{2}=0$ .........$(1)$
Dividing $(1)$ by $pq^{2}$ and using $q^{2}=$ $pr,$ we get
$\frac{d}{p}-\frac{2 e}{q}+\frac{f p}{p r}=0,$ or $\quad \frac{2 e}{q}=\frac{d}{p}+\frac{f}{r}$
Hence $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ are in $A.P.$
Similar Questions
બે અલગ અલગ ધન સંખ્યાઓના સમાંતર ,સમગુણોત્તર અને સ્વરીત મધ્યકો અનુક્રમે $A_1, G_1, H_1$ લો. $n \geq 2$, માટે $A_{n-1}$ અને $H_{n-1}$ ના સમાંતર, સમગુણોત્તર અને સ્વરીત મધ્યક અનુક્રમે $A_n, G_n$, અને $H_n$ લો. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે ?
બે અલગ અલગ ધન સંખ્યાઓના સમાંતર ,સમગુણોત્તર અને સ્વરીત મધ્યકો અનુક્રમે $A_1, G_1, H_1$ લો. $n \geq 2$, માટે $A_{n-1}$ અને $H_{n-1}$ ના સમાંતર, સમગુણોત્તર અને સ્વરીત મધ્યક અનુક્રમે $A_n, G_n$, અને $H_n$ લો. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે ?
જો દ્વિઘાત સમીકરણના બે ઉકેલોના સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે $9$ અને $4$ હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ કયું છે ?
જો દ્વિઘાત સમીકરણના બે ઉકેલોના સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે $9$ અને $4$ હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ કયું છે ?
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $56$ છે. જો આ સંખ્યાઓમાંથી અનુક્રમે $1,7$ અને $21$ બાદ કરવામાં આવે, તો આપણને સમાંતર શ્રેણી મળે છે. આ સંખ્યાઓ શોધો.
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $56$ છે. જો આ સંખ્યાઓમાંથી અનુક્રમે $1,7$ અને $21$ બાદ કરવામાં આવે, તો આપણને સમાંતર શ્રેણી મળે છે. આ સંખ્યાઓ શોધો.
અહી $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત $-3$ છે અને $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots, \mathrm{b}_{10}$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય ગુણોતર $2$ છે. અને $c_{k}=a_{k}+b_{k}, k=1,2, \ldots, 10 $ છે. જો $c_{2}=12$ અને $\mathrm{c}_{3}=13$ હોય તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}$ ની કિમંત મેળવો. .
અહી $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત $-3$ છે અને $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots, \mathrm{b}_{10}$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય ગુણોતર $2$ છે. અને $c_{k}=a_{k}+b_{k}, k=1,2, \ldots, 10 $ છે. જો $c_{2}=12$ અને $\mathrm{c}_{3}=13$ હોય તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}$ ની કિમંત મેળવો. .
- [JEE MAIN 2021]
ત્રણ ધન સંખ્યાઓ વધતી સમગુણોતર શ્રેણી બનાવે છે. જો આ સમગુણોતર શ્રેણીના મધ્યમ પદને બમણું કરવામાં આવે તો નવી સંખ્યાઓ સંમાતર શ્રેણીમાં થાય. તો સમગુણોતર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોતર ........ થાય.
ત્રણ ધન સંખ્યાઓ વધતી સમગુણોતર શ્રેણી બનાવે છે. જો આ સમગુણોતર શ્રેણીના મધ્યમ પદને બમણું કરવામાં આવે તો નવી સંખ્યાઓ સંમાતર શ્રેણીમાં થાય. તો સમગુણોતર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોતર ........ થાય.
- [JEE MAIN 2014]