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यदि $x=\sum_{n=0}^{\infty} a^n, y=\sum_{n=0}^{\infty} b^n, z=\sum_{n=0}^{\infty} c^n$ है, जहां $a , b , c$ समान्तर श्रेणी में है और $| a |<1,| b | < 1$, $| c | < 1, abc \neq 0$ है तब
$x , y , z$ समान्तर श्रेणी में है
$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ समान्तर श्रेणी में है
$x , y , z$ गुणोत्तर श्रेणी में है
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1-(a+b+c)$
Solution
$x =1+ a + a ^{2}=\ldots \ldots \ldots .$
$x=\frac{1}{1-a} \Rightarrow a=1-\frac{1}{x}$
$y=\frac{1}{1-b} \Rightarrow b=1-\frac{1}{y}$
$z=\frac{1}{1-c} \Rightarrow c=1-\frac{1}{z}$
$a , b , c$ are in $A.P.$
$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}, 1-\frac{1}{y}, 1-\frac{1}{z}$ are in $A.P.$
$\Rightarrow-\frac{1}{x},-\frac{1}{y},-\frac{1}{z}$ are in $A.P.$
$\Rightarrow \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ are in $A.P.$
