यदि left| {,begin{array}{*{20}{c}}{1 + ax}&{1 + bx}&{1 + cx}{1 + {a₁}x}&{1 + {b?

English

Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + ax}&{1 + bx}&{1 + cx}\\{1 + {a_1}x}&{1 + {b_1}x}&{1 + {c_1}x}\\{1 + {a_2}x}&{1 + {b_2}x}&{1 + {c_2}x}\end{array}\,} \right|$ $ = {A_0} + {A_1}x + {A_2}{x^2} + {A_3}{x^3}$ , तब ${A_1}$ का मान होगा

A

$abc$

B

$0$

C

$1$

D

इनमें से कोई नहीं

Solution

(b) $(1 + ax)\,[(1 + {b_1}x)\,(1 + {c_2}x) – (1 + {b_2}x)\,(1 + {c_1}x)]$

+ $(1 + bx)[(1 + {c_1}x)(1 + {a_2}x) – (1 + {a_1}x)\,(1 + {c_2}x)]$

+ $(1 + cx)\,[(1 + {a_1}x)\,(1 + {b_2}x) – (1 + {b_1}x)\,(1 + {a_2}x)]$

= ${A_0} + {A_1}x + {A_2}{x^2} + {A_3}{x^3}$

अत: हल करने के बाद $x$ का गुणांक $ 0 $ होगा।

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&k&3\\3&k&{ – 2}\\2&3&{ – 1}\end{array}\,} \right| = 0$, तो $ k $ का मान है

easy

(IIT-1979)

मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों

$x+2 y+3 z=\alpha$

$4 x+5 y+6 z=\beta$

$7 x+8 y+9 z=\gamma-$

का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)

$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$

का सारणिक (determinant) है।

मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।

($1$) $| M |$ का मान. . . .है।

($2$) $D$ का मान. . . .है।

medium

(IIT-2021)

यदि रैखिक समीकरण निकाय $2 x+2 y+3 z=a$, $3 x-y+5 z=b$, $x-3 y+2 z=c$ जहाँ $a , b , c$ शून्येतर वास्तविक संख्यायें है, के एक से अधिक हल हैं, तो

hard

(JEE MAIN-2019)

माना कि $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। निम्न रैखिक समीकरण निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए।

$x+2 y+z=7$

$x+\alpha z=11$

$2 x-3 y+\beta z=\gamma$

List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।

List – $I$ List – $II$

($P$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) ($1$) क अद्वितीय हल (unique solution) है

($Q$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के) ($2$)कोई हल नहीं है

($R$) Iयदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के)
($3$)अनंत हल हैं

($S$) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) ($4$) $x=11, y=-2$ एवं $z=0$ एक हल है

($5$) $x=-15, y=4$ एवं $z=0$ एक हल है

सही विकल्प है:

medium

(IIT-2023)

माना कि दो $3 \times 3$ आव्यूह (matrices) $M$ तथा $N$ इस प्रकार है कि $M N=N M$ है। यदि $M \neq N^2$ तथा $M^2=N^4$ हो, तो

$(A)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक (determinant) का मान शून्य है।

$(B)$ एक ऐसा $3 \times 3$ शून्येतर (non-zero) आव्यूह $U$ है जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है।

$(C)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक मान $\geq 1$ है।

$(D)$ $3 \times 3$ आव्यूह $U$ जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ भी एक शून्य आव्यूह होगा।

normal

(IIT-2014)