સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને $n$ મું પદ છે. જો $n$ પદોનો ગુણાકાર $P$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P^{2}=(a b)^{n}$

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

The first term of the $G.P.$ is $a$ and the last term is $b$

Therefore, the $G.P.$ is $a, a r, a r^{2}, a r^{3} \ldots a r^{n-1},$ where $r$ is the common ratio.

$b=a r^{n-1}$        .........$(1)$

$P=$ Product of $n$ terms

$=(a)(a r)\left(a r^{2}\right) \ldots \ldots\left(a r^{n-1}\right)$

$=(a \times a \times \ldots a)\left(r \times r^{2} \times \ldots . r^{n-1}\right)$

$ = {a^n}{r^{1 + 2 + .....(n - 1)}}$         ........$(2)$

Here, $1,2, \ldots \ldots(n-1)$ is an $A.P.$

$\therefore 1+2+\ldots \ldots \ldots+(n-1)$

$=\frac{n-1}{2}[2+(n-1-1) \times 1]=\frac{n-1}{2}[2+n-2]=\frac{n(n-1)}{2}$

$P=a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$

$\therefore P^{2}=a^{2 n} r^{n(n-1)}$

$=\left[a^{2} r^{(n-1)}\right]^{n}$

$=\left[a \times a r^{n-1}\right]^{n}$

$=(a b)^{n}$       [ Using $(1)$ ]

Thus, the given result is proved.

Similar Questions

જો સમગુણોત્તર શ્રેણીના દ્વિતીય, તૃતીય અને ચતુર્થ ધન પદોનો સરવાળો $3$ અને તેનો છઠ્ઠું, સાતમું અને આઠમા પદોનો સરવાળો $243$ હોય તો આ શ્રેણીમાં પ્રથમ $50$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય ?

  • [JEE MAIN 2020]

જો $x,\;y,\;z$ એ સમગુણોતર શ્નેણીમાંં હોય અને ${a^x} = {b^y} = {c^z}$ તે 

  • [IIT 1968]

$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?

$3$ અને $81$ વચ્ચે બે સંખ્યામાં ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય.

સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ત્રણ ક્રમિક પદનો ગુણાકાર $216$ છે અને તેનાં બે-બે પદોના ગુણાકારનો સરવાળો $156$ છે, તો આ પદ.... હશે.