यदि किसी समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का योगफल $3 n^{2}+5 n$ हैं तथा इसका $m$ वाँ पद $164$ है, तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।
Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
$a_{m}=a+(m-1) d=164$ ............$(1)$
Sum of $n$ terms: $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
Here,
$\frac{n}{2}[2 a+n d-d]=3 n^{2}+5 n$
$\Rightarrow n a+n^{2} \cdot \frac{d}{2}-\frac{n d}{2}=3 n^{2}+5 n$
Comparing the coefficient of $n^{2}$ on both sides, we obtain
$\frac{d}{2}=3$
$\Rightarrow d=6$
Comparing the coefficient of $n$ on both sides, we obtain
$a-\frac{d}{2}=5$
$\Rightarrow a-3=5$
$\Rightarrow a=8$
Therefore, from $(1),$ we obtain
$8+(m-1) 6=164$
$\Rightarrow(m-1) 6=164-8=156$
$\Rightarrow m-1=26$
$\Rightarrow m=27$
Thus, the value of $m$ is $27 .$
यदि $b _{1}, b _{2}, b _{3}, \ldots b _{11}$ एक वर्धमान $A.P.$ है और इसके पदों का प्रसरण $90$ है, तो इस $A.P.$ का सार्व अन्तर है
यदि ${S_n} = nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$, जहाँ ${S_n}$ समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग दर्शाता है, तब सार्वअन्तर है
श्रेणी $a,a + nd,\,\,a + 2nd$ का माध्य होगा
माना एक समान्तर श्रेणी के प्रथम $\mathrm{n}$ पदों का योग $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ है। यदि $\mathrm{S}_{10}=390$ तथा दसवें और पाँचवें पदों का अनुपात $15: 7$ है। तो $\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5$ बराबर है :
$m$ संख्याओं को $1$ तथा $31$ के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और $7$ वीं एव $(m-1)$ वीं संख्याओं का अनुपात $5: 9$ है। तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।