यदि किसी समांतर श्रेणी $25,22,19, \ldots$ के कुछ पदों का योगफल $116$ है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
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Let the sum of $n$ terms of the given $A.P.$ be $116$
$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
Here, $a=25$ and $d=22-25=-3$
$\therefore S_{n}=\frac{n}{2}[2 \times 25+(n-1)(-3)]$
$\Rightarrow 116=\frac{n}{2}[50-3 n+3]$
$\Rightarrow 232=n(53-3 n)=53 n-3 n^{2}$
$\Rightarrow 3 n^{2}-53 n+232=0$
$\Rightarrow 3 n^{2}-24 n-29 n+232=0$
$\Rightarrow 3 n(n-8)-29(n-8)=0$
$\Rightarrow(n-8)(3 n-29)=0$
$\Rightarrow n=8$ or $n=\frac{29}{3}$
Howerer, $n$ cannot be equal to $\frac{29}{3}$ therefore, $n=8$
$\therefore a_{8}=$ Last term $=a+(n-1) d=25+(8-1)(-3)$
$=25+(7)(-3)=25-21$
$=4$
Thus, the last term of the $A.P.$ is $4.$
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माना $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots ., a_{49}$ एक समांतर श्रेढ़ी में ऐसे है कि $\sum_{k=0}^{12} a_{4 k+1}=416$ तथा $a_{9}+a_{43}=66$ है। यदि $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots . .+a_{17}^{2}=140\, m$ है, तो $m$ बराबर है
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- [JEE MAIN 2018]
$1 + 3 + 5 + 7 + .........$ $n$ पदों तक का योग है
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क्रमागत पूर्णांकों (Consecutive integers) की समान्तर श्रेणी का प्रथम पद ${p^2} + 1$ है। इस श्रेणी के $(2p + 1)$ पदों का योग है
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निम्न में से कौन सी श्रेणी समान्तर श्रेणी है
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यदि ${S_k}$ किसी समान्तर श्रेणी के $k$ पदों का योगफल है जिसके प्रथम पद एवं सार्वअन्तर क्रमश: $‘a’$ व $‘d’$ हैं, तो $\frac{{{S_{kn}}}}{{{S_n}}}$,$n$ से स्वतंत्र होगा यदि
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