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10-1.Circle and System of Circles
hard
यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} + 6x + 6y = 2$ के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा, सरल रेखा $5x - 2y + 6 = 0$ को $y$ - अक्ष पर बिन्दु $Q$ पर मिलती है, तो $PQ$ की लम्बाई है
A
$4$
B
$2\sqrt 5 $
C
$5$
D
$3\sqrt 5 $
(IIT-2002)
Solution
(c) माना $P = ({x_1},{y_1})$ है, तब $P$ पर स्पश्री का समीकरण है, $x{x_1} + y{y_1} + 3(x + {x_1}) + 3(y + {y_1}) – 2 = 0$…..(i)
$Q $ के निर्देशांक (i) को संतुष्ट करते हैं,
==> $5x – 2y + 6 = 0,\,x = 0.$
$\therefore $$3{x_1} + 6{y_1} + 7 = 0$ तथा $Q = (0,\,3)$
$\therefore $ $P{Q^2} = x_1^2 + {({y_1} – 3)^2} = x_1^2 + y_1^2 – 6{y_1} + 9$
$ = 11 – 6{x_1} – 12{y_1}$, $(\because \,x_1^2 + y_1^2 + 6{x_1} + 6{y_1} – 2 = 0)$
$ = 11 – 2(3{x_1} + 6{y_1}) = 11 – 2( – 7) = 25$ $\therefore $ $PQ = 5$.
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