मध्यमान प्रमेय frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(c) में, यद?

English

Gujarati

Hindi

5. Continuity and Differentiation

medium

मध्यमान प्रमेय $\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(c)$ में, यदि $a = 0,b = \frac{1}{2}$ तथा $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ हो, तो $ c$ का मान है

A

$1 - \frac{{\sqrt {15} }}{6}$

B

$1 + \sqrt {15} $

C

$1 - \frac{{\sqrt {21} }}{6}$

D

$1 + \sqrt {21} $

Solution

(c) मध्यमान प्रमेय से, $f'(c) = \frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}}$

$a = 0,\,f(a) = 0$ ==> $b = \frac{1}{2},\,f(b) = \frac{3}{8}$

$f'(x) = (x – 1)(x – 2) + x(x – 2) + x(x – 1)$

==> $f'(c) = (c – 1)(c – 2) + c(c – 2) + c(c – 1)$

==> $f'(c) = {c^2} – 3c + 2 + {c^2} – 2c + {c^2} – c$

==> $f'(c) = 3{c^2} – 6c + 2$

मध्यमान प्रमेय से, $f'(c) = \frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}}$

==> $3{c^2} – 6c + 2 = \frac{{(3/8) – 0}}{{(1/2) – 0}}\, = \frac{3}{4}$

==> $3{c^2} – 6c + \frac{5}{4} = 0$

==> $c = \frac{{6 \pm \sqrt {36 – 15} }}{{2 \times 3}} = \frac{{6 \pm \sqrt {21} }}{6}$

$ = 1 \pm \frac{{\sqrt {21} }}{6}$.

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक संतत फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5)$

medium

माना $\mathrm{f}:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1$, $x \in[2,4], f(2)=\frac{1}{2}$ तथा $f(4)=\frac{1}{4}$ हैं।

निम्न दो कथनों का विचार कीजिए :

($A$) सभी $\mathrm{x} \in[2,4]$ के लिए $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 1$, है।

($B$) सभी $x \in[2,4]$ के लिए $f(x) \geq \frac{1}{8}$ है। तो

normal

(JEE MAIN-2023)

उन बिंदुओं, जहाँ वक्र $\mathrm{y}=\mathrm{x}^5-20 \mathrm{x}^3+50 \mathrm{x}+2$, $\mathrm{x}$-अक्ष को काटता है, की संख्या है____________

normal

(JEE MAIN-2023)

यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$ है

easy

जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

$f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$

medium