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माना $p , q$ तथा $r ,( p \neq q , r \neq 0)$, वास्तविक संख्याएँ ऐसी हैं कि समीकरण $\frac{1}{x+ p }+\frac{1}{x+ q }=\frac{1}{ r }$ के मूल बराबर तथा विपरीत चिन्हों के हैं, तो इन मूलों के वर्गों का योगफल बराबर है
${p^2} + {q^2} + {r^2}$
${p^2} + {q^2}$
$2({p^2} + {q^2})$
$\frac{{{p^2} + {q^2}}}{2}$
Solution
$\frac{1}{x+p}+\frac{1}{x+q}=\frac{1}{r}$
$\frac{{x + p + x + q}}{{(x + p)(x + q)}} = \frac{1}{r}$
$(2x + p + q)r = {x^2} + px + qx + pq$
${x^2} + (p + q – 2r)x + pq – pr – qr = 0$
Let $\alpha$ and $\beta$ be the roots.
$\therefore \alpha+\beta=-(p+q-2 r)……….(i)$
$\alpha \beta=pq-pr-qr……….(ii)$
$\because \alpha=-\beta(\text { given })$
$\therefore$ in eq. $(1),$ we get
$\Rightarrow \quad-(p+q-2 r)=0……….(iii)$
Now, $\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta$
$=(-(p+q-2 r))^{2}-2(p q-p r-q r) \ldots$ (from $(i)$ and $(ii))$
$=p^{2}+q^{2}+4 r^{2}+2 p q-4 p r-4 q r-2 p q+2 p r+2 q r$
$=p^{2}+q^{2}+4 r^{2}-2 p r-2 q r$
$=p^{2}+q^{2}+2 r(2 r-p-q) \ldots(\text { from (iii) })$
$=p^{2}+q^{2}+0$
$=p^{2}+q^{2}$
