माना $P =\{\theta: \sin \theta-\cos \theta=\sqrt{2} \cos \theta\}$ तथा $Q =\{\theta: \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2} \sin \theta\}$ दो समुच्चय हैं, तो

$[2,3]$ अंतराल में समीकरण $\sin \left(x+x^2\right)-\sin \left(x^2\right)=\sin x$ के कितने हल $x$ संभव हैं :

$\theta $का वह मान, जो कि $0$ एवं $\frac{\pi }{2}$ के मध्य हो तथा समीकरण

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }&{4\sin 4\theta }\\{{{\sin }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{4\sin 4\theta }\\{{{\sin }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}\,} \right| = 0$

को संतुष्ट करता हो, है

$(x, y)$ के कितने युग्म समीकरणों $\sin x + \sin y = \sin (x + y)$ तथा $|x| + |y| = 1$ को संतुष्ट करते हैं

यदि $\cos \theta  + \sec \theta  = \frac{5}{2}$, तो $\theta $ का व्यापक मान है

निम्नलिखित प्रत्येक समीकरणों का व्यापक हल ज्ञात कीजिए

$\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0$