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माना $z _{1}$ तथा $z _{2}$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $3\left| z _{1}\right|=4\left| z _{2}\right|$ है। यदि $z =\frac{3 z _{1}}{2 z _{2}}+\frac{2 z _{2}}{3 z _{1}}$ हो, तो
Re$(z) = 0$
$\left| z \right| = \sqrt {\frac{5}{2}} $
$\left| z \right| = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{17}}{2}} $
Im$(z) \neq 0$
Solution
$\left|\frac{3 z_{1}}{2 z_{2}}\right|=2$
Let $\frac{3 z_{1}}{2 z_{2}}=2 \cos \theta+2(\sin \theta) i$
$\Rightarrow \frac{2 z_{2}}{3 z_{1}}=\frac{1}{2} \cos \theta-\frac{1}{2}(\sin \theta)$
Given, $z=\frac{2 z_{1}}{3 z_{2}}+\frac{3 z_{2}}{2 z_{1}}$ $=\frac{5}{2} \cos \theta+\frac{3}{2}(\sin \theta) i$
Which is neither purely real nor purely imaginary and $|z|$ depends on $\theta$.
Similar Questions
माना कि $|z|^3+2 z^2+4 \bar{z}-8=0$ को संतुष्ट करने वाली एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ है, जहाँ $\bar{z}$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी (conjugate) है। माना कि $z$ का काल्पनिक भाग (imaginary part) अशून्य (nonzero) है।
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
| List-$I$ | List-$II$ |
| ($P$) $|z|^2$ के बराबर हैं | ($1$) $12$ |
| ($Q$) $|z-\bar{z}|^2$ के बराबर हैं | ($2$) $4$ |
| ($R$) $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ के बराबर हैं | ($3$) $8$ |
| ($S$) $|z+1|^2$ के बराबर हैं | ($4$) $10$ |
| ($5$) $7$ |
सही विकल्प है:
