- Home
- Standard 11
- Mathematics
माना $\alpha$ तथा $\beta$ समीकरण $x^{2}-x-1=0$ के मूल हैं। यदि $p _{ k }=(\alpha)^{ k }+(\beta)^{ k }, k \geq 1$, तो निम्न में से कौन सा एक कथन सत्य नहीं है ?
$\left(p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}\right)=26$
$\mathrm{p}_{5}=11$
$\mathrm{p}_{3}=\mathrm{p}_{5}-\mathrm{p}_{4}$
$\mathrm{p}_{5}=\mathrm{p}_{2} \cdot \mathrm{p}_{3}$
Solution
$\alpha+\beta=1, \alpha \beta=-1$
$\mathrm{P}_{\mathrm{k}}=\alpha^{\mathrm{k}}+\beta^{\mathrm{k}}$
$\alpha^{2}-\alpha-1=0$
$\Rightarrow \alpha^{\mathrm{k}}-\alpha^{\mathrm{k}-1}-\alpha^{\mathrm{k}-2}=0$
and $\beta^{\mathrm{k}}-\beta^{\mathrm{k}-1}-\beta^{\mathrm{k}-2}=0$
$\Rightarrow \mathrm{P}_{\mathrm{k}}=\mathrm{P}_{\mathrm{k}-1}+\mathrm{P}_{\mathrm{k}-2}$
$P_{1}=\alpha+\beta=1$
$\mathrm{P}_{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta=1+2=3$
$\mathrm{P}_{3}=4$
$\mathrm{P}_{4}=7$
$\mathrm{P}_{5}=11$
