माना बिंदु mathrm{P}(4,1) से अतिपरवलय mathrm{H}: frac{mathrm{y

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

normal

माना बिंदु $\mathrm{P}(4,1)$ से अतिपरवलय $\mathrm{H}: \frac{\mathrm{y}^2}{25}-\frac{\mathrm{x}^2}{16}=1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\mathrm{m}_1$ तथा $\mathrm{m}_2$ हैं। यदि $\mathrm{Q}$ वह बिंदु है, जिससे $\mathrm{H}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\left|m_1\right|$ तथा $\left|m_2\right|$ हैं तथा यह स्पर्श रेखाएं $x$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $\alpha$ तथा $\beta$ बनाती है, तो $\frac{(\mathrm{PQ})^2}{\alpha \beta}$ बराबर है_________

$6$

$5$

$8$

$4$

(JEE MAIN-2023)

Solution

Equation of tangent to the hyperbola $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

$y=m x \pm \sqrt{a^2-b^2 m^2}$

passing through $(4,1)$

$1=4 m \pm \sqrt{25-16 m ^2} \Rightarrow 4 m ^2- m -3=0$

$\Rightarrow m =1, \frac{-3}{4}$

Equation of tangent with positive slopes $1 \& \frac{3}{4}$. $\left.\begin{array}{l}4 y=3 x-16 \\ y=x-3\end{array}\right\}$ with positive intercept on $x$-axis.

$\alpha=\frac{16}{3}, \beta=3$

Intersection points:

$Q:(-4,-7)$

$P:(4,1)$

$PQ ^2=128$

$\frac{P^2}{\alpha \beta}=\frac{128}{16}=8$

Standard 11

Mathematics

आयताकार अतिपरवलय की उत्केन्द्रता का व्युत्क्रम है

normal

यदि अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ के बिन्दु $(2\sec \phi ,\;3\tan \phi )$ पर स्पर्श $3x – y + 4 = 0$ के समान्तर है, तब $f$ का मान …………. $^o$ है

medium

यदि $e$ तथा $e’$ क्रमश: दीर्घवृत्त $5{x^2} + 9{y^2} = 45$ तथा अतिपरवलय $5{x^2} – 4{y^2} = 45$ की उत्केन्द्रता हो, तो $ee' = $

medium

एक अतिपरवलय, जिसका अनुप्रस्थ अक्ष शांकव $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=4$ के दीर्घ अक्ष की दिशा में है तथा जिसके शीर्ष इस शांकव की नाभियों पर है। यदि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता $\frac{3}{2}$ है, तो निम्न में से कौन सा बिंदु इस पर स्थित नहीं है ?

hard

(JEE MAIN-2016)

यदि ${m_1}$ व ${m_2}$ अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{25}} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ की स्पर्श रेखाओं की प्रवणतायें हों, जो बिन्दु $(6, 2)$ से गुजरती हैं, तो