माना $\alpha=8-14 i, A=\left\{z \in \mathbb{C}: \frac{\alpha z-\bar{\alpha} \bar{z}}{z^2-(\bar{z})^2-112 i}=1\right\}$ तथा $B=\{z \in \mathbb{C}:|z+3 i|=4\}$ हैं तो $\sum_{\mathrm{z} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}}(\operatorname{Re} z-\operatorname{Im} z)$ बराबर ___________ है।

$\mathrm{a} \in \mathrm{C}$ के लिए, माना

$\mathrm{A}=\{\mathrm{z} \in \mathrm{C}: \operatorname{Re}(\mathrm{a}+\overline{\mathrm{z}})>\operatorname{Im}(\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{z})\}$ तथा

$B=\{z \in C: \operatorname{Re}(a+\bar{z})<\operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}$ हैं। तो दो कथनों :

$(S1)$ : यदि $\operatorname{Re}(\mathrm{A}), \operatorname{Im}(\mathrm{A})>0$ है, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $A$ में हैं

$(S2)$ : यदि $\operatorname{Re}(\mathrm{A}), \operatorname{Im}(\mathrm{A})<0$ हैं, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $\mathrm{B}$ में हैं

इनमें से

यदि $\bar z$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी हो, तो निम्न में से कौन सा सम्बन्ध असत्य है

यदि ${z_1} = 1 + 2i$ और ${z_2} = 3 + 5i$, तब${\mathop{\rm Re}\nolimits} \,\left( {\frac{{{{\bar z}_2}{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)$=

यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक $1$ है तथा कोणांक $\theta$, तब कोणांक $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)$ बराबर है

माना कि $z$ एक शून्येतर काल्पनिक भाग (non-zero imaginary part) वाली सम्मिश्र संख्या (complex number) है। यदि $\frac{2+3 z+4 z^2}{2-3 z+4 z^2}$ एक वास्तविक संख्या (real number) है, तब $|z|^2$ का मान. . . . .है।