माना S=left{Z ∈ C: bar{z}=ileft(z^2+operatorname{Re}(bar{z})right)right} है। तो

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4-1.Complex numbers

hard

माना $S=\left\{Z \in C: \bar{z}=i\left(z^2+\operatorname{Re}(\bar{z})\right)\right\}$ है। तो $\sum_{z \in S}|z|^2$ बराबर है

A

$\frac{7}{2}$

B

$4$

C

$\frac{5}{2}$

D

$3$

(JEE MAIN-2023)

Solution

Let $Z=x+$ iy, $x \in R, y \in R$

$x-i y=i\left(x^2-y^2+(2 x y) i+x\right)$

$x =- 2 x x$

$- y =- y ^2+ x ^2+ x$

$\Rightarrow x=0, y=-\frac{1}{2}(\text { from }(1))$

If $x \neq 0$, then $y =0,1$

If $y =-\frac{1}{2}$, then $x =\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$

$Z =0+ i 0,0+ i , \frac{1}{2}-\frac{ i }{2},-\frac{3}{2}-\frac{ i }{2}$

Standard 11

Mathematics

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किसी शून्येत्तर (non-zero) सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के लिये, माना कि $\arg (z)$ इसके मुख्य कोणांक (principal argument) को दर्शाता है, जहाँ – $\pi<\arg (z) \leq \pi \mid$ तब निम्नलिखित में से कौन सा

(से) कथन असत्य है (हैं)?

$(A)$ $\arg (-1-i)=\frac{\pi}{4}$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$

$(B)$ फलन (function) $f: R \rightarrow(-\pi, \pi]$, जो सभी $t \in R$ के लिये $f(t)=\arg (-1+i t)$ के द्वारा परिभाषित है, $R$ के सभी बिंदुओं पर संतत (continuous) है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$

$(C)$ किन्ही भी दो शून्येत्तर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)-\arg \left(z_1\right)+\arg \left(z_2\right)$

$2 \pi$ का एक पूर्णांक गुणज (integer multiple) है

$(D)$ किन्ही भी तीन दी गयी भिन्न (distinct) सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिये, प्रतिबंध (condition) $\arg \left(\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_2-z_1\right)}\right)=\pi$, को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ (locus) एक सरल रेखा (straight line) पर स्थित है

hard

(IIT-2018)

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easy

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medium

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hard

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easy