- Home
- Standard 11
- Mathematics
જેનું પ્રથમ પદ $n ^{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{( n +1)^{2}}$ હોય તેવી અનંત સમગુણોતર શ્રેણીનો સરવાળો ધારો કે $S _{ n }$ છે, જ્યાં $n =1,2, \ldots \ldots, 50$ તો, $\frac{1}{26}+\sum_{ n =1}^{50}\left( S _{ n }+\frac{2}{ n +1}- n -1\right)$ ની કીમત................છે
$41600$
$47651$
$41651$
$41671$
Solution
$S_{n}=\frac{n^{2}}{1-\frac{1}{(n+1)^{2}}}=\frac{n(n+1)^{2}}{(n+2)}$
$S_{n}=\frac{n\left(n^{2}+2 n+1\right)}{(n+2)}$
$S_{n}=\frac{n[n(n+2)+1]}{(n+2)}$
$S_{n}=n\left[n+\frac{1}{n+2}\right]$
$S_{n}=n^{2}+\frac{n+2-2}{(n+2)}$
$S_{n}=n^{2}+1-\frac{2}{(n+2)}$
Now $\frac{1}{26}+\sum \limits_{n=1}^{50}\left[\left(n^{2}-n\right)-2\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$
$=\frac{1}{26}+\left[\frac{50 \times 51 \times 101}{6}-\frac{50 \times 51}{2}-2\left(\frac{1}{52}-\frac{1}{2}\right)\right]$
$=41651$
