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13.Statistics
hard
माना $2 n$ प्रेक्षणों की एक शंखला में, आधे $a$ के बराबर है तथा शेष आधे $- a$ के बराबर है। प्रत्येक प्रेक्षण में एक अचर $b$ जोड़ने पर नये समूह का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः $5$ तथा $20$ हैं। तो $a ^{2}+ b ^{2}$ का मान बराबर है
A
$425$
B
$650$
C
$250$
D
$925$
(JEE MAIN-2021)
Solution
Let observations are denoted by $x _{i}$ for $1 \leq i< 2 n$
$\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{2 n}=\frac{(a+a+\ldots+a)-(a+a+\ldots+a)}{2 n}$
$\Rightarrow \overline{ x }=0$
and $\sigma_{ x }^{2}=\frac{\sum x _{i}^{2}}{2 n }-(\overline{ x })^{2}=\frac{ a ^{2}+ a ^{2}+\ldots+ a ^{2}}{2 n }-0= a ^{2}$
$\Rightarrow \sigma_{x}=a$
Now, adding a constant $b$ then $\overline{ y }=\overline{ x }+ b =5$
$\Rightarrow b =5$
and $\sigma_{y}=\sigma_{x}$ (No change in S.D.) $\Rightarrow a=20$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=425$
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