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8. Sequences and Series
hard
माना $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^4,(1-3 \beta x)^2$ तथा $\left(1-\frac{\beta}{2} x \right)^6, \beta > 0$ के प्रसार में मध्य पदों के गुणांक क्रमश: एक $A.P.$ के पहले तीन पद हैं। यदि इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है, तो $50-\frac{2 d }{\beta^2}$ बराबर है
A
$57$
B
$56$
C
$55$
D
$54$
(JEE MAIN-2022)
Solution
${ }^{4} C _{2} \times \frac{\beta^{2}}{6},-6 \beta,-{ }^{6} C _{3} \times \frac{\beta^{3}}{8}$ are in A.P
$\beta^{2}-\frac{5}{2} \beta^{3}=-12 \beta$
$\beta=\frac{12}{5} \text { or } \beta=-2 \therefore \beta=\frac{12}{5}$
$d =-\frac{72}{5}-\frac{144}{25}=-\frac{504}{25}$
$\therefore 50-\frac{2 d }{\beta^{2}}=57$
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