રેખા $y = \alpha x + \beta $  એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$  નો સ્પર્શક હોય તો ચલિતબિંદુ  $P(\alpha ,\,\beta )$ નો બિંદુગણ મેળવો.  

અતિવલય $16x^{2} - 32x - 3y^{2} + 12y = 44 $ ની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_1$ છે અને ઉપવલય $\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_2$ છે, ને અતિવલયની નાભીઓમાંથી પસાર થાય છે. તે  $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$ હોય, તો $x$-અક્ષને સમાંતર તથા $(0,2)$ માંથી પસાર થતી ઉપવલયની જીવાની લંબાઈ.................... છે.

અતિવલય ${x^2}{\sec ^2}\theta - {y^2}cose{c^2}\theta = 1$ માટે $\theta $ ચલ હોય તો . . . . . ની કિંમત $\theta $ પર આધારિત નથી.

જો અતિવલયની નાભીઓ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ની નાભીઓ સમાન હોય અને અતિવલયની ઉકેન્દ્રીતા એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રીતાથી $\frac{15}{8}$ ગણી છે, તો અતિવલય પરના બિંદુ $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ નું ન્યૂનતમ  નાભી અંતર મેળવો.