- Home
- Standard 11
- Mathematics
10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નો નાભિલંબ અતિવલયના કેન્દ્ર સાથે $\frac{\pi}{3}$ સાથે ખૂણો આંતરે છે. જો $b^2$ બરાબર $\frac{l}{m}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$ થાય, જ્યાં $l$ અને $\mathrm{m}$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો $\mathrm{l}^2+\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2=$___________.
A
$177$
B
$56$
C
$182$
D
$728$
(JEE MAIN-2024)
Solution
$ LR$ subtends $60^{\circ}$ at centre
$ \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{b^2 / a}{a e}=\frac{b^2}{a^2 e}=\frac{1}{\sqrt{3}} $
$ \Rightarrow \mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}^2}{9}$
Also, $e^2=1+\frac{b^2}{9} \Rightarrow 1+\frac{b^2}{9}=\frac{3 b^4}{81}$
$ \Rightarrow b^4=3 b^2+27 $
$ \Rightarrow b^4-3 b^2-27=0$
$ \Rightarrow b^2=\frac{3}{2}(1+\sqrt{13})$
$ \Rightarrow \ell=3, m=2, n=13 $
$ \Rightarrow \ell^2+m^2+n^2=182$
Standard 11
Mathematics
