ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નો નાભિલંબ અતિવલયના કેન્દ્ર સાથે $\frac{\pi}{3}$ સાથે ખૂણો આંતરે છે. જો $b^2$ બરાબર $\frac{l}{m}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$ થાય, જ્યાં $l$ અને $\mathrm{m}$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો $\mathrm{l}^2+\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2=$___________. 

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_1$ છે અને ઉપવલય $\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_2$ છે, ને અતિવલયની નાભીઓમાંથી પસાર થાય છે. તે  $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$ હોય, તો $x$-અક્ષને સમાંતર તથા $(0,2)$ માંથી પસાર થતી ઉપવલયની જીવાની લંબાઈ.................... છે.

પરવલય $y ^{2}=24 x$ પરના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે જે રેખા $2 x+2 y=5$ ને લંબ છે તો અતિવલય $\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta^{2}}=1$ નો બિંદુ $(\alpha+4, \beta+4)$ આગળનો અભિલંબએ  .   ..  બિંદુમાંથી પસાર ન થાય.

અતિવલયના નાભિકેન્દ્ર આગળ નાભિલંબ કાટખૂણો બનાવે, તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા :

જેનાં નાભિઓ $(0,\,±12)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $36$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો.

અતિવલય $4x^2 - 9y^2 - 36 = 0$ ની નાભિઓ :