જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$ હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$ હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.
Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. Therefore,
$S_{1}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ .........$(1)$
$S_{2}=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d]=n[2 a+(2 n-1) d]$ .......$(2)$
$S_{3}=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$ ..........$(3)$
From $(1)$ and $(2),$ we obtain
$S_{2}-S_{1}=n[2 a+(2 n-1) d]-\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$=n\left\{\frac{4 a+4 n d-2 d-2 a-n d+d}{2}\right\}$
$=n\left[\frac{2 a+3 n d-d}{2}\right]$
$=\frac{n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$
$\therefore 3\left(S_{2}-S_{1}\right)=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]=S_{3}$ [ From $(3)$ ]
Hence, the given result is proved.
Similar Questions
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $10$ અને છેલ્લુ પદ $50$ છે તથા તેના બધાં પદોનો સરવાળો $300$ છે, તો તેના પદની સંખ્યા $n = ….$
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $10$ અને છેલ્લુ પદ $50$ છે તથા તેના બધાં પદોનો સરવાળો $300$ છે, તો તેના પદની સંખ્યા $n = ….$
ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં છ. જો $a_5=2 a_7$ અને $a_{11}=18$ હોય, તો $12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}}+\ldots . \cdot \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)=................$
ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં છ. જો $a_5=2 a_7$ અને $a_{11}=18$ હોય, તો $12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}}+\ldots . \cdot \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)=................$
- [JEE MAIN 2023]
જો સમાંતર શ્રેણીના $p$ પદોનો સરવાળો તેના $q$ પદોના સરવાળા જેટલો હોય, તો તેના $(p +q)$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે ?
જો સમાંતર શ્રેણીના $p$ પદોનો સરવાળો તેના $q$ પદોના સરવાળા જેટલો હોય, તો તેના $(p +q)$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે ?
પાંચ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સરવાળો $25$ થાય અને ગુણાકાર $2520 $ થાય. જો પાંચ પૈકી કોઈ એક સંખ્યા $-\frac{1}{2},$ હોય તો તેમાથી મહતમ સંખ્યા મેળવો.
પાંચ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સરવાળો $25$ થાય અને ગુણાકાર $2520 $ થાય. જો પાંચ પૈકી કોઈ એક સંખ્યા $-\frac{1}{2},$ હોય તો તેમાથી મહતમ સંખ્યા મેળવો.
- [JEE MAIN 2020]
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $24$ અને તેમનો ગુણાકાર $440$ હોય તો આ સંખ્યાઓ શોધો.
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $24$ અને તેમનો ગુણાકાર $440$ હોય તો આ સંખ્યાઓ શોધો.