જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$  હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. Therefore,

$S_{1}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$         .........$(1)$

$S_{2}=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d]=n[2 a+(2 n-1) d]$         .......$(2)$

$S_{3}=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$          ..........$(3)$

From $(1)$ and $(2),$ we obtain

$S_{2}-S_{1}=n[2 a+(2 n-1) d]-\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=n\left\{\frac{4 a+4 n d-2 d-2 a-n d+d}{2}\right\}$

$=n\left[\frac{2 a+3 n d-d}{2}\right]$

$=\frac{n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$

$\therefore 3\left(S_{2}-S_{1}\right)=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]=S_{3}$         [ From $(3)$ ]

Hence, the given result is proved.

Similar Questions

જો $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો સાબિત કરો કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો બધી જ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?

ધારો કે $A =\left\{1, a _{1}, a _{2} \ldots \ldots a _{18}, 77\right\}$ પૂર્ણકોનો ગણ છે જ્યાં $1< a _{1}< a _{2}<\ldots \ldots< a _{18}<77$. ધરો કે ગણ $A + A =\{ x + y : x , y \in A \} \quad$ બરાબર $39$ ઘટકો સમાવે છે તો $a_{1}+a_{2}+\ldots \ldots+a_{18}$ નું મૂલ્ય.................. છે 

  • [JEE MAIN 2022]

જો $a _{1}, a _{2}, a _{3} \ldots$ અને $b _{1}, b _{2}, b _{3} \ldots$ એ સમાંતર શ્રેણી મા હોય તથા $a_{1}=2, a_{10}=3, a_{1} b_{1}=1=a_{10} b_{10}$ હોય,તો $a_{4} b_{4}=\dots$

  • [JEE MAIN 2022]

જો $(b+c),(c+a),(a+b)$ એ સ્વરિત શ્રેણીમાં હોય તો $a^2,b^2,c^2$ એ ........ શ્રેણીમાં છે