જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$ હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$ હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.
Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. Therefore,
$S_{1}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ .........$(1)$
$S_{2}=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d]=n[2 a+(2 n-1) d]$ .......$(2)$
$S_{3}=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$ ..........$(3)$
From $(1)$ and $(2),$ we obtain
$S_{2}-S_{1}=n[2 a+(2 n-1) d]-\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$=n\left\{\frac{4 a+4 n d-2 d-2 a-n d+d}{2}\right\}$
$=n\left[\frac{2 a+3 n d-d}{2}\right]$
$=\frac{n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$
$\therefore 3\left(S_{2}-S_{1}\right)=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]=S_{3}$ [ From $(3)$ ]
Hence, the given result is proved.
Similar Questions
બે સમાંતર શ્રેણીઓનાં $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $2n + 3 : 6n + 5$ હોય, તો તેના $13$ મા પદોનો ગુણોત્તર....... છે.
બે સમાંતર શ્રેણીઓનાં $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $2n + 3 : 6n + 5$ હોય, તો તેના $13$ મા પદોનો ગુણોત્તર....... છે.
જો સમાંતર શ્રેણીના $p$ પદોનો સરવાળો તેના $q$ પદોના સરવાળા જેટલો હોય, તો તેના $(p +q)$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે ?
જો સમાંતર શ્રેણીના $p$ પદોનો સરવાળો તેના $q$ પદોના સરવાળા જેટલો હોય, તો તેના $(p +q)$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે ?
જો $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ એ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $|x-2 y|$ ની કિમંત મેળવો.
જો $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ એ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $|x-2 y|$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
શ્રેણી $3 +7 + 1 1 + 15+ ... ......$અને $1 +6+ 11 + 16+ ......$ના પ્રથમ $20$ સામાન્ય પદોનો સરવાળો મેળવો.
શ્રેણી $3 +7 + 1 1 + 15+ ... ......$અને $1 +6+ 11 + 16+ ......$ના પ્રથમ $20$ સામાન્ય પદોનો સરવાળો મેળવો.
- [JEE MAIN 2014]
જો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$ ન હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
જો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$ ન હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.