8. Sequences and SeriesDifficult

જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$ હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.

Solution

Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. Therefore,

$S_{1}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ .........$(1)$

$S_{2}=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d]=n[2 a+(2 n-1) d]$ .......$(2)$

$S_{3}=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$ ..........$(3)$

From $(1)$ and $(2),$ we obtain

$S_{2}-S_{1}=n[2 a+(2 n-1) d]-\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=n\left\{\frac{4 a+4 n d-2 d-2 a-n d+d}{2}\right\}$

$=n\left[\frac{2 a+3 n d-d}{2}\right]$

$=\frac{n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$

$\therefore 3\left(S_{2}-S_{1}\right)=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]=S_{3}$ [ From $(3)$ ]

Hence, the given result is proved.

જો એક સમાંતર શ્રેણી $a_{1} a_{2}, a_{3}, \ldots$ ના પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $0\left(\mathrm{a}_{1} \neq 0\right)$ થાય અને સમાંતર શ્રેણી $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ પદોનો સરવાળો $k a_{1}$ થાય તો $k$ ની કિમત મેળવો

Difficult

Medium

Difficult

Difficult

Difficult