જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ $n, 2n, 3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_{1}, S_{2}$ અને $S_{3},$  હોય, તો બતાવો કે $S_{3}=3\left(S_{2}-S_{1}\right)$.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. Therefore,

$S_{1}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$         .........$(1)$

$S_{2}=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d]=n[2 a+(2 n-1) d]$         .......$(2)$

$S_{3}=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$          ..........$(3)$

From $(1)$ and $(2),$ we obtain

$S_{2}-S_{1}=n[2 a+(2 n-1) d]-\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=n\left\{\frac{4 a+4 n d-2 d-2 a-n d+d}{2}\right\}$

$=n\left[\frac{2 a+3 n d-d}{2}\right]$

$=\frac{n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$

$\therefore 3\left(S_{2}-S_{1}\right)=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]=S_{3}$         [ From $(3)$ ]

Hence, the given result is proved.

Similar Questions

જો $a_1, a_2, a_3, .... a_{21}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $a_3 + a_5 + a_{11}+a_{17} + a_{19} = 10$ થાય તો $\sum\limits_{r = 1}^{21} {{a_r}} $ ની કિમત મેળવો 

જો $a _{1}, a _{2}, a _{3} \ldots$ અને $b _{1}, b _{2}, b _{3} \ldots$ એ સમાંતર શ્રેણી મા હોય તથા $a_{1}=2, a_{10}=3, a_{1} b_{1}=1=a_{10} b_{10}$ હોય,તો $a_{4} b_{4}=\dots$

  • [JEE MAIN 2022]

જો $< {a_n} >$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $a_1 + a_4 + a_7 + .......+ a_{16} = 147$,હોય તો $a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ i ની કિમત મેળવો 

ધારોકે $a_{1}, a_{2,}, \ldots \ldots, a_{ n }, \ldots \ldots . .$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઆની એક સમાંતર શ્રેણી છે. જો આ શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદોના સરવાળા અને પ્રથમ નવ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $5: 17$ હોય અને $110 < a_{15} < 120$ હોય, તો આ શ્રેણીના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો ......... છે.

  • [JEE MAIN 2022]

જો $a_1, a_2, .. a_{24}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $a_1 + a_5 + a_{10} + a_{15} + a_{20} + a_{24} = 225$ થાય, તો આ સમાંતર શ્રેણીના $24$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?