बिन्दु mathrm{P}(-3,2), mathrm{Q}(9,10) तथा mathrm{R}(α, 4) एक वृत्?

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10-1.Circle and System of Circles

hard

बिन्दु $\mathrm{P}(-3,2), \mathrm{Q}(9,10)$ तथा $\mathrm{R}(\alpha, 4)$ एक वृत्त $\mathrm{C}$ पर हैं, जिसका व्यास $P R$ ह। बिन्दुओं $Q$ तथा $R$ पर वृत्त $\mathrm{C}$ की स्पर्श रेखाएँ बिन्दु $\mathrm{S}$ पर मिलती है। यदि बिन्दु $\mathrm{S}$ रेखा $2 \mathrm{x}-\mathrm{ky}=1$ पर है, तो $\mathrm{k}$ बराबर है___________.

A

$3$

B

$6$

C

$9$

D

$12$

(JEE MAIN-2023)

Solution

$m _{ PQ } \cdot m _{ QR }=-1$

$\Rightarrow \frac{10-2}{9+3} \times \frac{10-4}{9-\alpha}=-1 \Rightarrow \alpha=13$

$m _{ op } \cdot m _{ Qs }=-1 \Rightarrow m _{ Qs }=-\frac{4}{7}$

Equation of $QS$

$y-10=-\frac{4}{7}(x-9)$

$\Rightarrow 4 x+7 y=106 \ldots(1)$

$m_{O R} \cdot m_{R S}=-1 \Rightarrow m_{R S}=-8$

Equation of RS

$y-4=-8(x-13)$

$\Rightarrow 8 x+y=108$

Solving eq. $(1)$ and $(2)$

$x _1=\frac{25}{2} y _1=8$

$S \left( x _1, y _1\right)$ lies on $2 x – ky =1$

$25-8 k =1$

$\Rightarrow 8 k =24$

$\Rightarrow k =3$

Standard 11

Mathematics

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