दर्शाइए कि एक गतिमान बिंदु, जिसकी दो रेखाओं $3 x-2 y=5$ और $3 x+2 y=5$ से दूरीयाँ समान है, का पथ एक रेखा है।
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Given lines are
${3x - 2y = 5}$......$(1)$
and ${3x + 2y = 5}$.....$(2)$
Let $(h, k)$ is any point, whose distances from the lines $(1) $ and $(2)$ are equal. Therefore
$\frac{{|3h - 2k - 5|}}{{\sqrt {9 + 4} }} = \frac{{|3h + 2k - 5|}}{{\sqrt {9 + 4} }}$
${\text{or }}|3h - 2k - 5| = |3h + 2k - 5|$
${{\text{which gives }}3h - 2k - 5 = 3h + 2k - 5{\text{ or }} - (3h - 2k - 5)}$
${ = 3h + 2k - 5}$
Solving these two relations we get $k=0$ or $h=\frac{5}{3} .$ Thus, the point $(h, k)$ satisfies the equations $y=0$ or $x=\frac{5}{3},$ which represent straight lines. Hence, path of the point equidistant from the lines $(1)$ and $(2)$ is a straight line.
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एक समबाहु त्रिभुज का आधार $x + y = 2$ तथा शीर्ष $(2, -1)$ है। त्रिभुज की भुजा की लम्बाई है
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- [IIT 1973]
एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है, कि इस बिन्दु तथा बिन्दुओं $(1, 5)$ तथा $ (3, -7)$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $21$ वर्ग इकाई है, तब बिन्दु का बिन्दुपथ होगा
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मान लीजिए $O=(0,0) ; x$ - एवं $y$-अक्ष पर दो बिंदु क्रमशः $A$ and $B$ ऐसे हैं कि $\angle O B A=60^{\circ}$ है. मान लीजिए कि बिंदु $D$ पहले चतुर्थाश $(quadrant)$ में इस प्रकार है कि $O A D$ एक समबाहु त्रिभुज है. $D B$ की प्रबणता क्या होगी ?
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- [KVPY 2016]
$L _1$ और $L _2$ द्वारा परिभाषित रेखाओं
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पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $\lambda$ के लिए, मान लीजिए कि $C$ एक बिन्दु $P$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $P$ से $L _1$ की दूरी और $P$ से $L _2$ की दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ है। रेखा $y =2 x +1, C$ को दो बिन्दुओं $R$ और $S$ पर मिलती है, जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है।
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($1$) $\lambda^2$ का मान. . . . . है।
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- [IIT 2021]