સાબિત કરો કે પૂર્ણાકોના ગણ $\mathrm{Z}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $\mathrm{R} =\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): 2$ એ $\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)$ નો અવયવ છે $\} $ એ સામ્ય સંબંધ છે.
સાબિત કરો કે પૂર્ણાકોના ગણ $\mathrm{Z}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $\mathrm{R} =\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): 2$ એ $\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)$ નો અવયવ છે $\} $ એ સામ્ય સંબંધ છે.
$\mathrm{R}$ is reflexive, as $2$ divides $(\mathrm{a}-\mathrm{a})$ for all $\mathrm{a} \in \mathrm{Z}$. Further, if $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{R} ,$ then $2$ divides $\mathrm{a}-\mathrm{b}$. Therefore, $2$ divides $\mathrm{b} - \mathrm{a}$. Hence, $(\mathrm{b}, \mathrm{a}) \in \mathrm{R}$, which shows that $\mathrm{R}$ is symmetric. Similarly, if $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{R}$ and $(\mathrm{b}, \mathrm{c}) \in \mathrm{R} ,$ then $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ and $\mathrm{b}-\mathrm{c}$ are divisible by $2$. Now, $\mathrm{a}-\mathrm{c}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})+(\mathrm{b}-\mathrm{c})$ is even (Why?). So, $(\mathrm{a}-\mathrm{c})$ is divisible by $2 .$ This shows that $\mathrm{R}$ is transitive. Thus, $\mathrm{R}$ is an equivalence relation in $\mathrm{Z}$.
Similar Questions
કોઈ ચોક્કસ સમયે કોઈ એક નગરમાં વસતા મનુષ્યોના ગણ $\mathrm{A}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $ \mathrm{R} =\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): \mathrm{x}$ અને $\mathrm{y}$ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. $\}$ સ્વવાચક, સંમિત અથવા પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે નક્કી કરો ?
કોઈ ચોક્કસ સમયે કોઈ એક નગરમાં વસતા મનુષ્યોના ગણ $\mathrm{A}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $ \mathrm{R} =\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): \mathrm{x}$ અને $\mathrm{y}$ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. $\}$ સ્વવાચક, સંમિત અથવા પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે નક્કી કરો ?
જો $A = \{1, 2, 3\}, B = \{1, 3, 5\}.$ જો સંંબંધ $R$ એ $A$ થી $B$ પર છે કે જેથી $R =\{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$. તો ${R^{ - 1}}$ મેળવો.
જો $A = \{1, 2, 3\}, B = \{1, 3, 5\}.$ જો સંંબંધ $R$ એ $A$ થી $B$ પર છે કે જેથી $R =\{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$. તો ${R^{ - 1}}$ મેળવો.
ધારો કે $A=\{1,2,3\} .$ સાબિત કરો કે $(1,2) $ અને $(2,3)$ ને સમાવતા સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય, પરંતુ સંમિત ન હોય તેવા સંબંધોની સંખ્યા ત્રણ છે.
ધારો કે $A=\{1,2,3\} .$ સાબિત કરો કે $(1,2) $ અને $(2,3)$ ને સમાવતા સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય, પરંતુ સંમિત ન હોય તેવા સંબંધોની સંખ્યા ત્રણ છે.
જો $R$ એ $m$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $A$ થી $n$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $B$ પરનો સંબંધ હોય તો $A$ થી $B$ પરના સંબંધની કુલ સંખ્યા મેળવો.
જો $R$ એ $m$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $A$ થી $n$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $B$ પરનો સંબંધ હોય તો $A$ થી $B$ પરના સંબંધની કુલ સંખ્યા મેળવો.
સાબિત કરો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર $R =\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\}$ વડે વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $S$. સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ પૈકી એક પણ નથી.
સાબિત કરો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર $R =\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\}$ વડે વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $S$. સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ પૈકી એક પણ નથી.