ઉપવલય $2 x^{2}+3 y^{2}=5$ પર બિંદુ $(1,3)$ માંથી દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકોનો જોડ વચ્ચેનો લઘુકોણ મેળવો.

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ પરના કોઇ બિંદુથી દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકે અક્ષો પર બનાવેલ ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ  . . . .  થાય.   

$c$ ની કેટલી કિમંતો માટે રેખા $y = 4x + c$ એ વક્ર $\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ ને સ્પર્શે છે .

ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ ની નાભિ અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $( \pm 5,0)$ અને $\sqrt{50}$ છે, તો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2 b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વર્ગ......................... 

જો ઉપવલય $\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{16}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,\,\,$ ની નાભિઓ,  અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{144}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{81}}\,\, = \,\,\frac{1}{{25}}$ ની નાભિઓને સમાન હોય,તો ${b^2}\, = \,\,...........$

ધારોકે રેખા $2 x+3 y-\mathrm{k}=0, \mathrm{k}>0$ એ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ ને અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો રેખા ખંડ $A B$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા બનતા વર્તુળ સમીકરણ $x^2+y^2-3 x-2 y=0$ હોય અને ઉપવલય $x^2+9 y^2=\mathrm{k}^2$ ના નાભિલંબ ની લંબાઈ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ હોય, જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજય છે, તો $2 m+n=$ ...........