एक बहुभुज के दो क्रमिक अंतःकोणों का अंतर $5^{0}$ है। यदि सबसे छोटा कोण $120^{\circ}$ हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
The angles of the polygon will form an $A.P.$ with common difference $d$ as $5^{\circ}$ and first term $a$ as $120^{\circ}$
It is known that the sum of all angles of a polygon with $n$ sides is $180(n-2)$
$\therefore S_{n}=180^{\circ}(n-2)$
$\Rightarrow \frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]=180^{\circ}(n-2)$
$\Rightarrow \frac{n}{2}\left[240^{\circ}+(n-1) 5^{\circ}\right]=180^{\circ}(n-2)$
$\Rightarrow n[240+(n-1) 5]=360(n-2)$
$\Rightarrow 240 n+5 n^{2}-5 n=360 n-720$
$\Rightarrow 5 n^{2}-125 n+720=0$
$\Rightarrow n^{2}-25 n+144=0$
$\Rightarrow n^{2}-16 n-9 n+144=0$
$\Rightarrow n(n-16)-9(n-16)=0$
$\Rightarrow(n-9)(n-16)=0$
$\Rightarrow n=9$ or $16$
यदि तीन भिन्न संख्याएं $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में है तथा समीकरण $ax ^{2}+2 bx + c =0$ और $dx ^{2}+2 ex +$ $f=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है, तो निम्न में से कौन-सा एक कथन सत्य है ?
$1$ व $100$ के बीच $3$ के गुणज वाली प्राकृत संख्याओं का योग है
माना तीन अंक $a, b, c$ $A.P.$ में हैं। इनमें से प्रत्येक अंक को तीन बार प्रयोग कर $9$ अंको की संख्याएँ इस प्रकार बनाई जाती है कि तीन क्रमागत संख्याएँ कम से कम एक बार $A.P.$ में हो। इस प्रकार की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?
यदि ${a_1},\;{a_2},\,{a_3},......{a_{24}}$ समान्तर श्रेणी में हैं तथा ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$, तो ${a_1} + {a_2} + {a_3} + ........ + {a_{23}} + {a_{24}} = $
यदि $n$ प्राकृत संख्या है और श्रेणी $n+2 n+3 n+\cdots+99 n$ का मान एक पूर्ण वर्ग है, तो ऐसे लघुत्तम $n$ के वर्ग, अर्थात $n^2$ में अंको की संख्या होगी :