વિધેય $f(x) = {(x - 3)^2}$ એ અંતરાલ $[3, 4]$ માં મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરે છે . જો વક્ર $y = {(x - 3)^2}$ પરનું બિંદુ મેળવો કે જેનો સ્પર્શકનો ઢાળએ બિંદુઑ $(3, 0)$ અને $(4, 1)$ ને જોડતી રેખાને સમાંતર છે .

મધ્યકમાન પ્રમેય પરથી , $f'({x_1}) = {{f(b) - f(a)} \over {b - a}}$, તો . . . .

વિધેય $f(x) = {e^{ - 2x}}sin 2x$ એ $\left( {0,{\pi \over 2}} \right)$ માં આપલે છે. વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in \left( {0,{\pi \over 2}} \right)\,,$ મેળવો કે જેથી $f'\,(c) = 0$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.

દ્રીઘાત સમીકરણ  $ax^2 + bx + c = 0$ કે જ્યાં  $2a + 3b + 6c = 0$ અને વિધેય $g(x) = a\frac{{{x^3}}}{3} + b\frac{{{x^2}}}{2} + cx.$ આપેલ છે .

વિધાન $1:$ દ્રીઘાત સમીકરણનું એક બીજ  $(0, 1)$ અંતરાલ માં આવેલ છે .

વિધાન $2:$ વિધેય $g(x)$ પર અંતરાલ  $[0, 1 ]$ માં રોલનું પ્રમેય ઉપયોગ કરી શકાય.

જો  $27a + 9b + 3c + d = 0$  હોય, તો સમીકરણ $ 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0 $ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કોની વચ્ચે હોય ?

જો વિધેય $f(x)$ એ $[0,2]$ માં મધ્યક માન પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને જો $f(x)=0$ ; $\left| {f'\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}$ દરેક $x \in \left[ {0,2} \right]$, તો  . . .