$(1+x)^{20}$ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक तथा $(1+ x )^{19}$ के प्रसार में दो मध्य पदों के गुणांकों के योग का अनुपात है ........ |

$\left(\frac{x+1}{x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1}-\frac{x-1}{x-x^{1 / 2}}\right)^{10}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है

यदि ${(3 + ax)^9}$ के विस्तार में ${x^2}$ व ${x^3}$ के गुणांक बराबर हों, तो $a$ का मान होगा

$\sum\limits_{m = 0}^{100} {{\,^{100}}{C_m}{{(x - 3)}^{100 - m}}} {.2^m}$ के विस्तार में ${x^{53}}$ का गुणांक है

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के प्रसार में, यदि $x$ से स्वतंत्र पद का  निम्नतम मान $\ell_{1}$ है जब $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ तथा $x$ से स्वतंत्र पद का निम्नतम मान $\ell_{2}$ है जब $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$, तो अनुपात $\ell_{2}: \ell_{1}$ बराबर है

यदि $\left(t^2 x^{\frac{1}{5}}+\frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t}\right)^{15}, x \geq 0$, के प्रसार में $t$, से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $K$ है, तो $8 K$ बराबर है $...........$