એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $m$ અને $n$ પદોના સરવાળાના ગુણોત્તર $m^{2}: n^{2}$ છે. સાબિત કરો કે $m$ માં તથા $n$ માં પદોનો ગુણોત્તર $(2 m-1):(2 n-1)$ થાય. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. According to the given condition,

$\frac{{{\rm{ Sum}}\,\,{\rm{of }}\,\,m\,\,{\rm{ terms }}}}{{{\rm{ Sum }}\,\,{\rm{of}}\,{\rm{ }}n{\rm{ }}\,\,{\rm{terms }}}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$

$\Rightarrow \frac{\frac{m}{2}[2 a+(m-1) d]}{\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$

$\Rightarrow \frac{2 a+(m-1) d}{2 a+(n-1) d}=\frac{m}{n}$        ........$(1)$

Putting $m=2 m-1$ and $n=2 n-1,$ we obtain

$\frac{2 a+(2 m-2) d}{2 a+(2 n-2) d}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$

$\Rightarrow \frac{a+(m-1) d}{a+(n-1) d}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$         ..........$(2)$

$\frac{{{m^{th}}\,\,{\rm{ term}}\,\,{\rm{ of}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}}{{{n^{{\rm{th }}}}\,\,{\rm{ term }}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{a + (m - 1)d}}{{a + (n - 1)d}}$

From $(2)$ and $(3),$ we obtain

$\frac{m^{H h} \text { termof A.P. }}{n^{t h} \text { termof A.P. }}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$

Thus, the given result is proved.

Similar Questions

ધારોકે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારોકે $f(x)=\alpha x^{5}+\beta x^{3}+\gamma x, x \in R$ અને $g: R \rightarrow R$ એવું છે કે જેથી પ્રત્યેક $x \in R$ માટે $g(f(x))=x$ થાય. ને $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{ n }$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને તેનો મધ્યક શૂન્ય હોય, તો $f\left(g\left(\frac{1}{ n } \sum_{i=1}^{ n } f\left( a _{i}\right)\right)\right)$ ની કિંમત .............. છે.

  • [JEE MAIN 2022]

પ્રથમ ત્રણ પદો લખો : $a_{n}=2 n+5$

એક વ્યક્તિ તેની લોનની ચુકવણી માટે પ્રથમ હપતામાં $Rs.$ $100 $ ભરે છે. જો તે દર મહિને હપતાની રકમમાં $Rs \,5$ વધારે ભરે, તો તેના $30$ માં હપતામાં કેટલી રકમ ચૂકવશે?

એક ધન પૂર્ણાંક અંકોની સમાંતર શ્રેણી ધ્યાનમાં લ્યો. જેનાં પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $54$ છે અને પ્રથમ વીસ પદોનો સરવાળો $1600$ અને $1800$ ની વચ્ચે છે તો શ્રેણીનું $11^{\text {th }}$ મુ પદ મેળવો.

  • [JEE MAIN 2025]

$2$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $1$ થી $100$ વચ્ચેની સંખ્યાનો સરવાળો મેળવો.

  • [IIT 1984]