એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $m$ અને $n$ પદોના સરવાળાના ગુણોત્તર $m^{2}: n^{2}$ છે. સાબિત કરો કે $m$ માં તથા $n$ માં પદોનો ગુણોત્તર $(2 m-1):(2 n-1)$ થાય. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $a$ and $b$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. According to the given condition,

$\frac{{{\rm{ Sum}}\,\,{\rm{of }}\,\,m\,\,{\rm{ terms }}}}{{{\rm{ Sum }}\,\,{\rm{of}}\,{\rm{ }}n{\rm{ }}\,\,{\rm{terms }}}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$

$\Rightarrow \frac{\frac{m}{2}[2 a+(m-1) d]}{\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$

$\Rightarrow \frac{2 a+(m-1) d}{2 a+(n-1) d}=\frac{m}{n}$        ........$(1)$

Putting $m=2 m-1$ and $n=2 n-1,$ we obtain

$\frac{2 a+(2 m-2) d}{2 a+(2 n-2) d}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$

$\Rightarrow \frac{a+(m-1) d}{a+(n-1) d}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$         ..........$(2)$

$\frac{{{m^{th}}\,\,{\rm{ term}}\,\,{\rm{ of}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}}{{{n^{{\rm{th }}}}\,\,{\rm{ term }}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{a + (m - 1)d}}{{a + (n - 1)d}}$

From $(2)$ and $(3),$ we obtain

$\frac{m^{H h} \text { termof A.P. }}{n^{t h} \text { termof A.P. }}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$

Thus, the given result is proved.

Similar Questions

ધારો કે $S_n$ એ, સમાંતર શ્રેણી $3,7,11, \ldots . . .$. નાં $n$ પદોનો સરવાળો છે. જો $40<\left(\frac{6}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n S_k\right)<42$ હોય,તો $n=$___________. 

  • [JEE MAIN 2024]

જો $a, b, c,d$, તે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, અને જો $a$ અને $b$ $x^{2}-3 x+p=0$ ના બીજ હોય અને $c, d$ $x^{2}-12 x+q=0$ ના બીજ હોય તો સાબિત કરો કે $(q+p):(q-p)=17: 15$

$a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + 2nd)$ શ્રેણીનો સમાંતર મધ્યક કયો છે ?

ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં છ. જો $a_5=2 a_7$ અને $a_{11}=18$ હોય, તો $12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}}+\ldots . \cdot \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)=................$

  • [JEE MAIN 2023]

$m \neq n$ માટે કોઈક સમાંતર શ્રેણીનું $m$ મું પદ $n$ અને $n$ મું પદ $m$ હોય, તો તેનું $p$ મું પદ શોધો.