પ્રત્યેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે બે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $5 n+4: 9 n+6 .$ છે. તેમનાં $18$ માં પદનો ગુણોત્તર મેળવો.
Let $a_{1}, a_{2}$ and $d_{1}, d_{2}$ be the first terms and the common difference of the first and second arithmetic progression respectively.
According to the given condition,
$\frac{{{\rm{ Sum }}\,\,{\rm{of }}\,\,n\,\,{\rm{ terms }}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ first}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}}{{{\rm{ Sum}}\,\,{\rm{ of }}\,\,n{\rm{ }}\,\,{\rm{terms }}\,\,{\rm{of }}\,\,{\rm{second}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{5n + 4}}{{9n + 6}}$
$\Rightarrow \frac{\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) d_{1}\right]}{\frac{n}{2}\left[2 a_{2}+(n-1) d_{2}\right]}=\frac{5 n+4}{9 n+6}$
$\Rightarrow \frac{2 a_{1}+(n-1) d_{1}}{2 a_{2}+(n-1) d_{2}}=\frac{5 n+4}{9 n+5}$ ..........$(1)$
Substituting $n=35$ in $(1),$ we obtain
$\frac{2 a_{1}+34 d_{1}}{2 a_{2}+34 d_{2}}=\frac{5(35)+4}{9(35)+6}$
$\Rightarrow \frac{a_{1}+17 d_{1}}{a_{2}+17 d_{2}}=\frac{179}{321}$ ...........$(2)$
$\frac{{{{18}^{th}}\,\,{\rm{ term}}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ first }}}}{{{{18}^{th}}\,\,{\rm{ term }}\,\,{\rm{of }}\,\,{\rm{second}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{{a_1} + 17{d_1}}}{{{a_2} + 17{d_2}}}$ ............$(3)$
From $(2)$ and $(3),$ we obtain
$\frac{{{{18}^{{\rm{th }}}}\,\,{\rm{ term}}\,\,{\rm{ of }}\,\,{\rm{first }}}}{{{{18}^{{\rm{th }}}}\,\,{\rm{ term }}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ second }}\,\,{\rm{A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{179}}{{321}}$
Thus, the ratio of $18^{\text {th }}$ term of both the $A.P.$s is $179: 321 .$
જો $a^2 (b + c), b^2 (c + a), c^2 (a + b)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $a, b, c$ કઈ શ્રેણીમાં હોય ?
જો $p,\;q,\;r$ ધન તેમજ સંમાતર શ્નેણીમાં હોય તો કઇ શરત માટે પ્રતિઘાત સમીકરણ $p{x^2} + qx + r = 0$ નાં બિજ વાસ્તવિક બને..
જો $x=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a^{n}, y=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b^{n}, z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c^{n}$, જ્યાં $a , b , c$ એ સમાંતર શ્રેણી$(A.P.)$ માં છે. $|a| < 1,|b| < 1,|c| < 1$, $abc$ $\neq 0$ તો:
જો $a, b, c, d, e, f$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $e - c = …..$
જો સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $Pn + Qn^2$ હોય જ્યાં $P,\,Q$ અચળ, હોય તો તેમનો સામાન્ય તફાવત કેટલો થાય ?