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एक बिंदु $P$ से वत्त $x ^{2}+ y ^{2}-2 x -4 y +4=0$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। इन स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$ है, जहाँ $\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) \in$ $(0, \pi)$ है। यदि वत्त का केन्द्र $C$ है तथा ये स्पर्श रेखाएँ वत्त को बिंदुओं $A$ तथा $B$ पर स्पर्श करती है, तो $\triangle PAB$ तथा $\triangle CAB$ के क्षेत्रफलों का अनुपात है
$11:4$
$9:4$
$3:1$
$2:1$
Solution
$\tan \theta=\frac{12}{5}$
$PA =\cot \frac{\theta}{2}$
$\therefore$ area of $\Delta PAB =\frac{1}{2}( PA )^{2} \sin \theta=\frac{1}{2} \cot ^{2} \frac{\theta}{2} \sin \theta$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}\right) \sin \theta$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\frac{5}{13}}{1-\frac{5}{13}}\right)\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{1}{2} \frac{18}{18} \times \frac{2}{13}=\frac{27}{26}$
area of $\Delta CAB =\frac{1}{2} \sin \theta=\frac{1}{2}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{6}{13}$
$\therefore \frac{\text { area of } \Delta PAB }{\text { area of } \Delta CAB }=\frac{9}{4}$
